YiNotes

正项级数的敛散性判定

Jun 19, 20251 min read

正项级数 收敛的充分必要条件是它的部分和数列 有界
这是因为正项级数的每一项 都是正的，所以无论怎么加，加了多少项，这个 都是单调的（始终在加正数），那么对于这个单调变大的 只有两种结果

  • 有极限，趋近于一个值
  • 无界，一直单调下去

比较判别法

给出两个正项级数 和 , 如果从某项起有 成立, 则

  • 若 收敛, 则 也收敛
  • 若 发散, 则 也发散

大的收敛，小的肯定也收敛
小的发散，大的肯定也发散

比较判别法的极限形式

比较判别法的极限形式和比较判别法-无界函数的反常积分是一致的，需要适当地选择一个已知其敛散性的级数作为比较的基准，最常用的有p级数和等比级数

设

  1. 若 则 与 同敛散.
  2. 若 则 收敛 收敛, 发散 发散.
  3. 若 则 发散 发散, 收敛 收敛.

  • 当级数的比为常数时;;; 两个级数是同敛散的

  • 当级数的比为0时;;; 分母大了，分母收敛推分子收敛。分子小了，分子发散推分母发散

  • 对于级数的比为0的规律是很好理解的，因为两级数的比为0，那么说明分母过于大了，要么就是分子过于小了，这和比较判别法的，大收小也收，小发大也发是一致的

  • 当级数的比为无穷时;;; 分子小了，分子发散推分母发散。分母大了，分母收敛推分子收敛

对于形如p积分的p级数 ，当p>1时收敛，当p<1时发散，我称之为小撒（撒贝宁）大脸（收敛）

对于等比级数，我们在例2 中做过，当q<1时收敛，当q>1时发散

Link to original

Link to original

根值判别法

Q:根值法判定敛散性
A:若 则 收敛发散不一定
也就是给数列通项u开根号，越开越小，即 ，那么u这个数列的级数就是收敛的
开根号开出来比1大，肯定收敛不了
根号开出来为1，敛散性不确定

根值判别法同样在调和级数上会失效，此时
【注】(1) 指出，若 、根值判别法必会失败，如 发散，有 ; 收
数，他有

Link to original

积分判别法

离散的数列 的每一项都是函数 对应的值 ，那么an的敛散性和积分fx是一致的，也就是;; 与 是一致的

Link to original

Graph View

Backlinks