题18

题18

题目

[!question]+
(18) (本题满分 10 分)设函数 具有二阶导数,且曲线 与直线 相切于原点. 记 为曲线 在点 处切线的倾角,若 ,求 的表达式.

分析

[!NOTE]+
应该是把转化为，行成和x的关系，我的直觉是，但是这个左边的比比出来不应该是角度，而是这种结构才对，这是我的直觉的第一个错误，第二个错误，是我用曲线上的点，和曲线经过的原点连成的线的斜率也不是，所谓的切线斜率，这个等价关系是不成立的，下面是我的错误过程

解

[!done]-
解 (法一) 构造关于 和关于 的微分方程.

由 可得, ,其中 为待定常数. 于是,可以将求 的表达式转化为求 的表达式.

由导数的几何意义知, ,故 . 分离变量得, ,解得 ,其中 为待定常数.

由于曲线 与直线 在原点相切,故当 时, ,从而可求得 ,

下面求 .

由于 ,故 .

因此,