题18

题18

题目

[!question]+
计算二重积分 ,其中 .

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
解 由图 (a) 可知,区域 关于 轴对称,而 为关于 的奇函数,故 . 又因为 为关于 的偶函数,所以

其中 是 位于右半平面的部分. 我们可以用两种方法来计算 .

(b) (c)

(法一) 在直角坐标系下计算.

如图(b) 所示,先求出圆弧 与抛物线 的交点. 由 可求得 或 . 在第一象限中的交点为 .

由圆方程 可得, . 由于圆弧在第一象限,故根号前取 + 号. 将区域 写成 型区域,

从而

因此,

(法二) 在极坐标系下计算.

写出 的极坐标形式: . 写出 的极坐标形式: ,化简为 .

可求得圆弧与抛物线的交点坐标为 . 如图 (c) 所示,连接极点与该交点,将区域 分成两部分, 由 以及圆弧 围成; 由 围成, 从而

因此,