题9

题9

题目

[!question]+

分析

[!NOTE]+
自变量之间明显存在差值，应该用拉格朗日中值定理来算计算，但是我选择了直接洛必达法则，也可以，就是中间有一步写掉了东西

解

[!done]-
注意到由拉格朗日中值定理，有，故可以利用此关系将原极限进行转化。

此外，当时，，，故所求极限为型未定式，可以将其转化为型未定式，再利用洛必达法则计算。

解(法一) 由拉格朗日中值定理可得，存在，使得

于是，原极限 。

由于当时，，而，故由夹逼准则可知。

因此，原极限。

(法二) 利用洛必达法则。

注 法二中用到了如下结论：当时，若极限式为分式，且分子与分母为次数相同的多项式，设分子的最高次项系数为，分母的最高次项系数为，则该极限等于。