在考研数学一二三中，有一些常见的超纲方法，利用它们可以更快的解题或者帮助记忆一些结论。本文主要总结了一些超纲方法与结论，并附上相关的例题。
这些题目可通过考纲内的方法解出，读者需要注意不要舍本逐末，先确保不用超纲方法会做。
极限
Stolz 定理
例题：
Stolz 定理：设数列 是从某项起严格单调递增的正无穷大量，且 （其中 是有限值或 ），则有 。
定理证明： 先考虑 的情形。由 以及 可知，，有 以及。于是，两边同时除以可得。由，对固定的，，有，从而，由 的任意性可知。
当 是非零有限值时，令，则有，因此，而。
当 时，，有 以及，因此数列 从某项起严格单调递增的正无穷大量。因此，故。
当 时，同理可得。证毕。
Stirling 公式
例题：
Stirling 公式： ，其中
公式证明：考虑数列。
首先证明其极限存在。 ，利用 ，可知 。因此 单调递减， 单调递增，它们均收敛于同一个值，记为 ，因此 ，其中 。
考虑 Wallis 积分，利用 时，，可得，整理后有。由夹逼定理有，即。经过变形可得，由此可得。证毕。
积分
有界收敛定理
例题：设，则
有界收敛定理：设函数 与 均在区间 上可积，存在，使得对任意，有，且对任意，，则有。
上述定理是实变函数中的结论，并可推广为控制收敛定理，略去证明。
留数定理
例题：
例题：
留数是复变函数中的一个重要概念。有理函数 如果在 处不可导，则称 为 的奇点，且 在 的一个去心邻域可展开为双边幂级数，称 为 在 处的留数，记作。
对于有理函数，若 是一个非零的有限值，则。
进而对于下面两类积分可以用留数定理求解。
- 设 是 的有理函数，在 上连续，则，其中 在 内的奇点为，而在 上无奇点。
- 设 是多项式， 无实根，且，则，其中 是 在上半平面的孤立奇点。
拉氏变换
例题：（常规方法提示：利用）
例题：
的拉氏变换定义为。容易证明，，，。
设，则拉式变换具有如下性质：
初值、终值等性质略去。
设，利用拉式变换的性质可得下面两类积分的结果。
欧拉积分
例题：
Beta 函数，显然 Beta 函数有对称性，即。
Gamma 函数，可注意到 以及。
利用分部积分可得递推公式 以及。
此外有。证明：。证毕。
多元微积分
古尔丁定理
例题： 绕 轴旋转一周所得旋转体的表面积和体积
有一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积 ，等于曲线的长度 乘以曲线的形心经过的距离 ，即 。
有一条封闭的平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转体的体积 ，等于曲线围成的面积 乘以曲线的形心经过的距离 ，即 。
格林第一、第二公式
例题：设 在单位圆盘 上有二阶连续偏导，且，计算。
格林第一公式：设 在闭区域 上有二阶连续偏导，则。对应的三维形式为。
格林第二公式：设 在闭区域 上有二阶连续偏导，则。对应的三维形式为。
证明：只证明二维情形，三维类似。，即有。
而同样有，相减即有。证毕。
微分形式与外微分
例题（此题超纲）：若坐标变换为 ，则 。
设 是 中的一个区域，记，将 视为一组基，（每个）称为一次微分形式，全体一次微分形式构成 线性空间，记为，可微函数 的全微分 就是一次微分形式。
若在 中选择 个构成有序元 ，规定 时 ，并规定若 中有两个相同时 。 个有序元 （ ）构成 线性空间，即 次微分形式，记为 。 次微分形式可视为有向的 维体积微元， 中的函数称为零次微分形式。
微分形式可定义外积运算，设 ， ，定义 。
微分形式还可定义外微分运算，对于 次微分形式 定义其外微分为 。
具体的，有如下结果（可便于记忆）。
容易看出格林公式、高斯公式、斯托克斯公式可以统一为广义的 Stokes 公式。
例题证明：若坐标变换为 ，则 。
级数
A-D 判别法
例题：判断 的敛散性
Abel 判别法： 单调有界， 收敛，则 收敛
Dirichlet 判别法： 单调趋于 0， 有界，则 收敛
A-D 判别法也有对应的积分形式。
最佳平方逼近
例题：若，求 。
设 在 上可积或平方可积， 是傅里叶展开，其部分和，，则，其中，且。
设 在 上可积或平方可积，则有 Parseval 等式 。
微分方程
拉式变换法
例题：
例题求解：两边拉式变换， ，即 ，求逆变换，得到 。
数三解差分方程有 Z 变换法与之类似。
微分算子法
例题： 的特解
例题： 的特解
考虑微分方程，为求出此方程的一个特解，引入算子，，则只需形式上求解。
这需要利用微分算子的相关性质：
- 设 且，则
- 设 且，则，
- 设 是 次多项式， 且，把 按 的升幂排列后用多项式除法去除 1，在 步得到的商式记为，则
例题求解： 的特解
，此方程的一个特解为
例题求解： 的特解
，用 除 得到 ，故方程的一个特解为
线性代数
Jordan 标准型
例题：证明 与 相似
对任意 阶矩阵 ，存在可逆矩阵 以及正整数 ，使得 ，其中 可能相同，每个 Jordan 块形如 。不计 的次序时，Jordan 标准型唯一。
分析 的秩容易看出特征值 对应的几何重数即为取值为 的 Jordan 块个数。
矩阵分解——谱分解
例题：三阶实对称矩阵 的特征值为 ，属于 的特征向量为 ，求
若 可正交对角化， ，其中 ，则有 。由于 为属于特征值 的单位特征向量，可把系数相同的项放在一起，将矩阵分解为若干正交投影矩阵的线性组合，即谱分解 ，对于任意 ， 。
矩阵分解——正交三角分解
例题：设 ，求出三阶正交矩阵 和对角线元素都大于零的三阶上三角矩阵 ，使得
设 是实满秩矩阵，则存在唯一的正交矩阵 和对角线元素都大于零的上三角矩阵 ，满足 。
证明：设 ，利用 Gram-Schmidt 正交化依次求出 ， 。然后进行归一化， ，则可得 ，其中 ， 。若分解不唯一， ，则 ，左边为正交矩阵，右边为上三角矩阵，因此 。证毕。
矩阵函数
例题： ，求正定矩阵 使得
例题（本题超纲）： ，求特征值非负的矩阵 使得
对于对角线为 的 阶 Jordan 块 ， 在 处收敛，则 。
而对于一般的矩阵 ，设其 Jordan 标准型为 ， ， 在所有特征值处均收敛，则 。
例题求解： ，求特征值非负的矩阵 使得
其 Jordan 标准型为 ， ， 。考虑 ，则
概率统计
矩母函数
例题：证明二项分布、泊松分布的可加性
随机变量 的矩母函数定义为 ，矩母函数反过来也唯一确定了相应的分布。应用矩母函数可以容易求出随机变量的各阶矩，即 。另外容易得到，独立随机变量的和的矩母函数等于各自矩母函数的乘积，即 。
常见分布的矩母函数如下：
- 服从二项分布时
- 服从泊松分布时
- 服从正态分布时
- 服从指数分布时
Beta 分布与 Gamma 分布
例题：卡方分布 与指数分布 相同
Beta 分布 的概率密度函数为 ，期望 ，方差 。
Gamma 分布 的概率密度函数为 ，期望 ，方差 ，矩母函数为 。
Gamma 分布具有如下性质：
- 若 ，则
- 若 ，则
- 若 ，则
- 为指数分布
- 时为卡方分布 。