题22

题22

题目

[!question]+
已知向量组 与 ,

若向量组 与 等价,求 的取值,并将 用 线性表示.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
线性表示 给定向量组 和向量 . 若存在一组数 ,使得

则向量 是向量组 的线性组合,称向量 能由向量组 线性表示,等价于非齐次线性方程组 有解,其中 是由 构成的矩阵.

向量组之间的线性表示 设有两个向量组 和 ,若向量组 中的每个向量都能由向量组 线性表示,则称向量组 能由向量组 线性表示,等价于矩阵方程 有解,其中 是由 构成的矩阵, 是由 构成的矩阵.

已知向量组 I 与向量组 II 等价,记 ,则 满足 . 利用这一点,可以确定 .

将 用 线性表示,相当于解 .

解 记 ,则由向量组 与向量组 等价可知

对 作初等行变换.

由上式可知 ,故 或 .

当 时, 或 . 又由于当 时, ,故 不符合题意,而当 时, ,此时向量组 I 与向量组 II 等价.

当 时,

( 表示对第 行作初等行变换后所得新的第 行,每作一次初等行变换,加一个 .)

取 为自由变元,令 ,可得 为 的一个基础解系. 又因为 为 的一个特解,所以 的通解为 ,其中 为任意常数. 因此，

其中 为任意常数.

当 时, ,向量组 I 与向量组 II 等价,且它们相互之间的线性表示唯一.

因此, 的唯一解为 .

综上所述,当 时,向量组 与向量组 等价. 当 时, ,其中 为任意常数; 当 时, .