例2.27

例2.27

题目

Q:P83 (1) 证明曲线 与直线 在 内有唯一交点
(2) 证明 (1) 中的 收敛,并求
(3) 计算

分析

A:交点的问题就是解的唯一性的问题，说明两个函数划上等号的解是唯一的
我卡在了，没办法把夹逼出来这个问题上
的单调是数列的单调，别给绕进这个函数里面了，应该是去作差03:19

这里是用反证法
做错了的核心在于，被绕进去，把数列和函数糅在一起了
还要额外注意，这一句：
即 ,又 单调减少,所以 ,故 单调减少.
函数的单调性，可以反过来判断自变量的大小关系

解

(1)【证】令 ,则

又 ,故 单调减少,于是存在 ,使得 ,即存在唯一交点 .
(2)【解】由 (1) 知, ,故 有界. 又

故

即 ,又 单调减少,所以 ,故 单调减少.
由单调有界准则,有 ,若 ,由 ,有

当 时,上式两边取极限,有

等式左边为 ,等式右边为 0,矛盾,故 .
(3)【解】 .