题18

题18

题目

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求函数 的极值.

分析

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2023 年数学一试题的第 (18) 题也是二元函数的无条件极值问题, 在该题中, 既需要用到二元函数极值存在的充分条件来判定极值, 也需要利用定义来判定极值. 大家可以留作练习：题308

解

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解1 计算 的驻点.

.

令 . 由 以及 可得 或 . 但当 时, 不成立, 于是 , 从而 , 其中 .

当 时, , ; 当 时, , . 由此可得 的全部驻点为 , , 其中 .

② 计算 的二阶偏导数.

,

,

③ 计算 .

(i) 对点 , , , , , 且 . 由二元函数极值存在的充分条件可知, 点 是 的极小值点. 极小值为 .

(ii) 对点 , , , , . 由二元函数极值存在的充分条件可知, 点 不是 的极值点.

综上所述, 有极小值, 极小值为 .