题8

题8

题目

[!question]+
(8) 设 是 4 阶矩阵, 为 的伴随矩阵. 若 是方程组 的一个基础解系,则 的基础解系可为 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
伴随矩阵和齐次齐次线性方程组解的问题结合起来的时候，要记得通过伴随矩阵的秩来，得到基础解系，确定有多少个自由变量，自由变量之间是线性无关的也就可以确定这个解了；另一方面，因为伴随矩阵和矩阵之间存在一个矩阵方程的恒等式，常常用，AB=0后者B的列空间就是解向量这个结论
我的做法想法是错的，但是意外的选对了，我认为给x那个补一个，得到，这个也得是的解，那么这个解就要已知的那个线性无关，所以只留下一个，和都留下

解

[!done]-
解集与基础解系 齐次线性方程组的全体解的集合称为该线性方程组的解集. 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.

设 矩阵 的秩 ,则 元齐次线性方程组 的解集 的秩 .

和 的关系 对于 阶矩阵 ,

从 的基础解系可知 ,从而知 ,因此可知 的基础解系中的向量个数.

解 由于 为 的一个基础解系,故该方程组的解集的秩为 1,从而 .

由 与 的关系可得 . 于是 的解集的秩为 3,基础解系应包含 3 个线性无关的向量. 因此,可以排除选项 .

由于 ,故 的列向量均为 的解. 又因为 ,所以可以从 的列向量组中找出 3 个线性无关的列向量作为 的一个基础解系.

另一方面,由于 是方程组 的一个基础解系,故

于是 与 线性相关,因此可以排除选项 C. 由排除法知,应选 D.