幂零矩阵

性质大全

幂零矩阵可相似对角化当且仅当是零矩阵。
换句话说，也就是幂零矩阵一般不能相似对角化，具体见例8.2
若懂得了例8.2的道理,命题中若出现这种比较稀疏的矩阵
,
因 ,
而它们本身不是零矩阵, 则可直接判别出其不可相似对角化.

幂零矩阵一定是不可逆矩阵

沟通了矩阵的幂和矩阵特征值之间的关系，如果一个矩阵，存在一个，使得，那么的特征值全是0
注意到！不能通过A的特征值全是0，然后觉得非0特征值的个数=矩阵的秩就得到说，幂零矩阵的秩就是0了，这显然是错误的，因为判断，只有在是实对称矩阵的时候，也就是A是可以相似对角化的时候才能用，注意看最顶上的第一句话
比如矩阵，乘两次以后结果为0，但是秩为1

A是m阶幂零矩阵，则A的伴随矩阵，也是幂零矩阵

幂m和矩阵的秩是有关的;;秩+1次也为0，，也就是，一定是零矩阵，已知幂m的话，我们可以通过西尔维斯特不等式得到一个关于秩不等式，，这里的n是n阶的矩阵，真题考察过：题9，但是不能得到

若AB是可交换矩阵AB=BA，则当为幂零阵时，有;;