例7.6 题目 Q:设 均是 3 阶矩阵,且满足 ,其中 , 求矩阵 的特征值与特征向量. 分析 A:AB=0这种矩阵方程的条件怎么和特征值还有特征向量结合起来怎么处理的问题 解 【解】由题设条件: ① ,将 按列分块,设 ,则有 即 ,故 是 的属于 的特征向量. 又因 线性无关, ,故 是 的属于 的线性无关的特征向量,且 至少是二重根. 因为若 是单根,则其恰有一个线性无关的特征向量,矛盾. ② ,两边取转置得 ,将 按列分块,设 ,则有 即 ,故 是 的属于 的特征向量. 因 互成比例,故 是 的属于特征值 的特征向量,于是 是二重根. 综上, 的特征值为 ,对应于 的全部特征向量是 , 不全为 0,对应于 的全部特征向量是 .
