题16
题目
[!question]+
已知函数 满足微分方程 ,且 ,求 的极大值与极小值.
分析
[!NOTE]+
解
[!done]-
解 整理原微分方程得,
这是可分离变量的微分方程. 方程两端积分得
代入 ,得 ,从而得到关于 的一个隐函数方程: .
要求 的极大值与极小值,可先求 . 由 (1) 式可得
由此可知,当 时, ; 当 或 时, 单调减少; 当 时, 单调增加.
于是, 在 处取到极大值,在 处取到极小值. 由 可计算得, 当 时, ; 当 时, . 因此, 的极大值为 ,极小值为 .