题22

题22

题目

[!question]+
设 .
( I ) 计算行列式 ;
(II) 当实数 为何值时,方程组 有无穷多解,并求其通解.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
对本题而言, 有无穷多解的充要条件为 .

解 (I) 按第一行展开 ,得

(II) (法一) 有无穷多解的充要条件为 .

由 可得, ,从而 .

当 时,

( 表示对第 行作初等行变换后所得新的第 行,每作一次初等行变换,加一个 .)

由上可知, ,而 无解. 不符合题意.

当 时,

由上可知, 有无穷多解.

齐次方程 的通解为 ,其中 为任意常数. 又因为 为 的一个特解,所以 的通解为 ,其中 为任意常数.

综上所述,当 时,方程组 有无穷多解,其通解为 , 其中 为任意常数.

(法二) 对含有参数 的增广矩阵 作初等行变换.

由于 有无穷多解,故 . 因此, ,解得 . 其余同法一.