题19

题19

题目

[!question]+
设 为正整数,记 为曲线 与 轴所围图形的面积,求 ,并求 .

分析

[!NOTE]+
类似的题目有这些：题20，主要的一个得分点是exp乘三角的积分

解

[!done]-
定积分的几何意义 若在 上, ,则 为 与 轴所围成曲边梯形的面积; 若在 上, ,则 为 与 轴所围成曲边梯形的面积的负值.

如图所示,曲线 与 轴有无穷多个交点, ( 为非负整数) 均为曲线与 轴的交点. 因此,该曲线与 轴围成的平面图形在 轴上方与 轴下方均有无穷多部分. 计算面积 时, 要注意讨论.

(解) (法一) 注意到 恒大于零. 根据定积分的几何意义,曲线位于 的部分与 轴之间的图形面积等于 .

计算 .

下面计算 .

由上式可得 ,于是 .

因此,

(法二) 计算 .

下面计算 .

由上式可得 ,于是

其中 为任意常数.

由于当 时, ; 当 ( 为奇数) 时, ,故

因此,

(注) 曲线 与 轴有无穷多个交点,既有位于 轴上方的部分,又有位于 轴下方的部分,故在计算 时,不能直接计算积分 来求面积.