例4.4

例4.4

题目

P70 设 ,则 “存在可逆矩阵 ,使得 ” 是 “ ” 的 ( ) .
(A) 充要条件
(B) 充分非必要条件
(C) 必要非充分条件
(D) 既非充分也非必要条件

分析

是什么意思？
矩阵乘上可逆矩阵，矩阵的秩是不变的，而左右两边又是相等的，所以这个结论是充分的
说明必要性，任何一个矩阵，都可以通过初等变换中的行和列变化，得到它的标准形，也就，那么A矩阵，可以单独只通过行变换或者列变换，也就是或者就可以得到标准型呢，如果A是可逆方阵，这是因为可逆矩阵可以写成有限个初等矩阵的乘积，而每个初等矩阵的形态都是标准型的，乘积显然还是标准的。但是这里的A是列满秩的，不是方阵，有结论，==列满秩的矩阵，只通过行变换，就可以得到标准形；如果是行满秩的，只通过列变换就可以了==

解

【解】应选 (A).
若 ,则存在可逆矩阵 与 ,使 ,

令 ,则 .
又当 可逆时,有 ,故为充要条件,故选 (A).
【注】若 ,则存在可逆矩阵 ,使得 .