题11

题11

题目

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曲线在点处的曲率圆方程为___

分析

[!NOTE]+
曲率圆不是说圆心在这个点上！只是用一段圆的圆弧来拟合这个点附近的趋势，这是抛物线，可以只用中学知识处理，注意这里如果看作y关于x的函数，就是曲线方程了，我们的目的是拟合，换个角度，旋转90度看，再套这个公式

解

[!done]-
(1) 曲率 (i) 设曲线的直角坐标方程是 ,且 具有二阶导数,则曲线在点(x, y) 处的曲率为

(ii) 设曲线由参数方程 给出,则曲线在点 处的曲率为

(2)曲率圆与曲率半径 设曲线 在点 处的曲率为 . 如图所示,在点 处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点 ,使 . 以 为圆心, 为半径作圆,这个圆叫做曲线在点 处的

曲率圆,曲率圆的圆心 叫做曲线在点 处的曲率中心,曲率圆的半径 叫做曲线在点 处的曲率半径.

曲率圆与曲线在点 处有相同的切线和曲率,且在点 邻近有相同的凹凸性.

解 曲线 的参数方程可写为 故 ,曲线上点 (x, y)处的曲率

由 (1) 式可得,点(0,0)处的曲率 ,故该点处的曲率半径为 . 由于曲线在点(0,0)处的切线为 轴,故法线为 轴,曲率中心在点 .

因此,所求曲率圆方程为 .

注 由于在点(0,0)处,曲线 的切线垂直于 轴,故我们选择用参数方程的形式来计算点(0,0)处的曲率.

本题的函数图形以及曲率圆图形如图所示.