题20

题20

题目

[!question]+
设 是由曲线 与 围成的平面区域,求 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.

分析

[!NOTE]+
旋转体侧面积和旋转体的体积的问题，这里我们要把这个参数方程解出来然后硬算都是可以的

解

[!done]-
解 区域 如图所示.

记曲线 与 轴, 轴围成的区域为 ,曲线 与 轴, 轴围成的区域为 .

绕 轴旋转一周所得旋转体的体积可以看作由 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积 减去由 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积 .

绕 轴旋转一周所得旋转体的表面积可以看作由曲线 绕 轴旋转一周所得曲面的表面积 加上由曲线 绕 轴旋转一周所得曲面的表面积 .

绕 轴旋转一周所得旋转体为球心在原点,半径为 1 的半球体,其体积 , 表面积 .

此外,可求得两条曲线的交点为 和 .

下面我们用两种方法来计算所得旋转体的体积与表面积.

(法一) 利用 的参数方程,找出曲线交点所对应的 . 交点 对应 ,交点 对应

因此, .

(法二) 写出曲线 的显式表达式.

由 可得, . 由于 ,故 . 于是,

下面计算 .

因此, .