矩阵的秩

o-1920

Q:是怎么证明的？

A:考虑方程这个方程是否有解，如果有解，那么系数矩阵的A，也就是r(A)，就要等于增广矩阵的秩，也就是r(A,AB)。
而令，显然就是方程的解，该方程有解，所以二者秩相等
对于拼接、拼凑起来的式子，可以考虑用增广矩阵这种形式来达成矩阵的拼贴，而增广矩阵就是对应者线性方程组的思想

矩阵的秩=列秩=行秩

有关秩的几个重要式子，在向量组的秩的公式和定理中还有另外的有一部分

右乘行满秩矩阵或左乘列满秩矩阵，秩不变

秩的不等式

Q:秩是维度的描述，显然是小于行也是小于列的

A: (由定义); 这个不等式也就是矩阵的行秩等于列秩的描述（见题4.6）

Q:秩越乘越小

A: (见题3.9)
题3.2也涉及了这个结论的使用

Q:合的秩小于秩的和

A: (见题3.10);

AB的复合的作用得到了0矩阵，说明其中有一个矩阵对于空间的作用是发生了坍缩的，或者说叫做降维了，这也就说明两者矩阵的和是小于他们的公共部分的，也就是n，这里不等关系还用到了我们的第一点原则，也就是，矩阵的秩是小于它的行列的

Q:、分别是的矩阵，若

A:则 ，另一方面秩还是越乘越小的，
这个命题叫做西尔维斯特不等式，在分析里第一次见

Q:怎么把的秩给放缩小，前提是是列满秩的，也是西尔维斯特不等式

A:;

Q:怎么把的秩给放缩大

A:；也就是秩越乘越小

Q:对于分块矩阵，它的秩和凑起来的各个块的秩之间的关系是什么？

A: , ，例3.18里说明了这个问题

秩的等价关系

;; (由定义);

伴随矩阵就是可逆矩阵的一个中间态，直接把这个东西当做是逆矩阵的作用就可以了，这里原矩阵是满秩的，那么显然，它的逆矩阵是可以完全还原维度的，所以这的伴随矩阵也就是n
当原矩阵对于空间的作用会降低维度时，这个时候还是根据伴随矩阵的定义来看这个事情，因为是n-1，所以伴随矩阵的计算的时候去掉这个全是0的行列，会导致计算出来的伴随矩阵带n-1个为0的行列，只剩下一个维度，显然就是秩为1
当原矩阵的秩小于了n-1，这个时候它的逆矩阵肯定是没办法还原空间，显然这个伴随矩阵的秩也就是0，还可以通过伴随矩阵的计算的定义来看，去掉其行列以后，剩下的部分总是会乘到0，所以秩为1

Q:伴随矩阵的秩和原矩阵的秩的关系

A: 其中 为 阶方阵(见题3.11);

伴随矩阵和矩阵的分解及组合

一个可逆的矩阵，说明他对空间的变化是不是导致维度的降低的，秩描述的就是这个对维度的作用，所以这里两个矩阵做了乘法以后得到的PA和PQ，以及PAQ对于原来矩阵A对于空间的维度的作用是没有负面效果的，显然就是这四者的秩是相等的

设 是 矩阵, 分别是 阶、 阶可逆矩阵,则;; ，可逆矩阵左右乘，带来的线性变换，不会改变矩阵的秩

格拉姆矩阵的秩和原来的矩阵的秩;;是一样的，.