题8

题8

题目

[!question]+
(8) 设 为 阶矩阵,记 为矩阵 的秩, 表示分块矩阵,则 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
分块矩阵，感觉做过很多遍了，又忘记了例3.18，考虑矩阵的秩相等，可以多站在AB=0这种解空间和初等变换的角度上来看，AB是通过B的手段对A的列空间进行变换，变换的结果是AB的列空间变小了，但是还在A空间中，此时和A空间组合，A空间还是这么大，所以秩不变
另一方面，分块矩阵的秩一定是越拼越大的

解

[!done]-
矩阵的秩 如果矩阵 有一个不为零的 阶子式 ，且所有 阶子式（若存在的话）全部等于零，那么数 称为矩阵 的秩，记作 。

子式 在 矩阵 中，任取 行与 列 ，位于这些行、列交叉处的 个元素，不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式。

四个选项均涉及分块矩阵的秩。关于分块矩阵的秩，我们有如下结论：。

解 记 。由于右乘矩阵表示对矩阵作列变换，故 的列向量可由 的列向量线性表示。于是，。

因此，应选 A。

下面分别说明选项 B、C、D 不正确。

选项 B：。但是， 并不成立。

取 ，，则 ，。，但 。

选项 C：。但是， 并不成立。

取 ，，则 ，，但 。

选项 D：由于 ，而 ，故 。但是， 并不成立。

取 ，，则 ，。，但 。