题9

题9

题目

[!error]+
设为四阶矩阵,为的伴随矩阵,若,且,则的可能取值为( )
(A) 0 或 1
(B) 1 或 3
(C) 2 或 3
(D) 1 或 2

分析

[!NOTE]+
AB=0题型，肯定要用西尔维斯特不等式，我做错的一个关键在于没有得到幂零矩阵这个重要的中间过程伴随矩阵

解

[!done]-
(1) .

(2) 若 为 阶矩阵满足 ，则 .（这一条性质反复使用）

解 由 可得，. 结合 ，从而 可得，. 于是，. 进一步由 可得，.

由 可得，，即 . 当 时，，即 . 由于 ，故 ，从而 .

因此， 的取值为 1 或 2，应选 D.

下面举例说明 与 均可能实现.

取 ，则 ，且 .

取 ，则 ，且 .