题19

题19

题目

[!question]+
设,求曲线与直线及轴所围平面图形,绕轴旋转所得的旋转体体积为,求的最大值.

分析

[!NOTE]+
曲面绕x轴旋转一周的体积，注意这里有参数，是变限积分求导公式！但是我全然没注意到，直到我准备求导的时候

幸好最后还是用上了这个整个的积分结果

解

[!done]-
解 根据旋转体的体积公式,

由变限积分的求导公式可得,

解 可得 . 于是,当 时, 单调增加,当 时, 单调减少. 因此, 的最大值在 时取得,最大值为 .

下面用两种方法计算 .

(法一)

(法二) 也可以计算出 的表达式再代入 .

因此,