题17

题17

题目

[!question]+
设曲线 经过点 ， 上任意一点 到 轴的距离等于该点处的切线在 轴上的截距。
(I) 求 ；
(II) 在 上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小，并求此最小面积。

分析

[!NOTE]+
同年的数一有一个题目和本题是一样的：题129

解

[!done]-
(解) (I) 由导数的几何意义可知，点 处的切线方程为 。该点到 轴的距离为 ()。

令 ，可得 。由点 到 轴的距离等于该点处的切线在 轴上的截距可得 。整理可得 。由一阶非齐次线性微分方程的通解公式可得

。

代入 可得 。因此，。

(II) 点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形是一个直角三角形，记切线在 轴， 轴上的截距为 ，则三角形的面积 。

由第 (I) 问可知，点 处的切线方程为 ，。令 ，可得 ，从而切线与 轴的交点为 ，。

又由第 (I) 问可知，，

。

于是，

，

。

由此可得 。

下面求 的最小值。

计算 。

。

当且仅当 时，。又因为当 时，， 单调减少，当 时，， 单调增加，所以 是 的最小值点。

因此，点 处的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小，最小值为 。