题16

题16

题目

(I) 比较 与 的大小,说明理由;
(II) 记 ,求极限 .

分析

第一问比大小应该是定积分的保号性，关键在于比较 与 的大小. 这可以通过构造辅助函数, 再利用函数的单调性来判断.
但是第一问我用的是定积分的中值定理，第二问证明数列收敛或者说证明数列有极限，单调有界准则是百试百灵的通法

解

(解) (I) 在 上, 与 均非负,故比较 与 的大小,只需比较 与 的大小.

考虑 .

当 时, .

因此,当 时, . 由于两被积函数仅在 处相等,故

(II) (法一) 由第(I) 问知, .

因此,

由夹逼准则知, .

(法二) 由第( I ) 问知, .

又因为 ,所以存在 ,使得对任意的 ,有 ,从而

由夹逼准则知, .

(法三) 由于 时, ,故 .

计算 得,

从而 .

因为 ,所以由夹逼准则知, .

注 ① 在解第 ( II ) 问时,下面的做法是不严谨的.

由第 (I) 问可得 . 对 使用积分中值定理,得到

因此,

由夹逼准则知, .

这是因为,对 使用积分中值定理时,所得 与 有关,应记为 . 虽然对每一个 ,都有 ,但是却不能直接得到 .

② 在用夹逼准则求极限值时,一般要对原数列的界做估计. 第 (I) 问提供了一种估计, 法三没有利用第 ( I ) 问的结论, 而是提供了另一种估计方法, 都是可行的. 但是要注意, 使用法三时,一定要说明反常积分 收敛. 跳过验证反常积分 收敛这一步而直接得到 ,这种做法是不完整的.

③ 第 ( II ) 问中,“ ” 可由洛必达法则推出.