例9.15

例9.15

题目

P153 设 元实二次型 的二次型矩阵为 .

(1) 证明: 正定;
(2) 若 在条件 下的最小值为 ,求 的值及 时的最小值点.

分析

https://www.bilibili.com/video/BV13A4Ze3Em5?t=244.9&p=100

解

(1) 【证】

故

此方程组的系数矩阵为 ,可逆,故只有零解 ,于是

当 时, ,即 正定.

( 2 )【解】由 ( 1 ),当 时,

故 . 且当 时,即 时,等号成立,故最小值为 ,且 ,最小值点为 .