第五步：求各个部分分式的积分

第五步：求各个部分分式的积分

根据前面的内容，一个真分式可以分解为以下四种分式之和：

它们都是可以直接求积分的。第三、四种分式求积分感觉会比较复杂，但解题中出题通常会简单一些，关键是要理解这些分式可以通过什么手段进行求积分。下面给出四种分式的求积分方法。

第一种分式积分

第一种分式积分非常简单：

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第二种分式积分

第二种分式积分，第二种分式也很容易：

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第三种分式积分

第三种分式积分，这种分式积分会复杂一些，我们一步步讲：

首先，我们观察到 ， 跟 是同次的，因此可以把 表示为 的形式。我们通过分式除法：

因此有：

第一部分现在很容易求解：

现在看第二部分：

我们把要积分的式子，构造成 ，利用 求解：

到此，就成功求出其积分：

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第四种分式积分

求解第四种分式的积分:

这个积分是最复杂的，因此题出的也少。

首先，跟第三种分式中的一样，我们先把变成的形式：

左边这部分可以直接求出来：

现在看右边，右边其实相当于求以下式子的积分：

我们接下来先讨论这种类型的式子如何求积分，设：

利用分部积分法，设，因此

因此：

因此：

把放到左边：

当时，数列的初项为：

这样，我们就解决了形如 的积分。回到我们第四种分式的积分中：

第二部分，使用换元法设 ，就可以把它转化为

的形式，从而使用上面的数列 公式，求出最终结果。

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