题22
题目
[!question]+
设二次型 经可逆线性变换 化为二次型 .
(I) 求 的值;
(II) 求可逆矩阵 .
分析
[!NOTE]+
到底什么是矩阵合同，我到现在还没搞明白，这里一定要和可以正交对角化实现合同的那种题型区分开来，矩阵合同更多地需要站在初等变换的角度上来思考，尤其要注意变换是否是可逆的，但是无论是否可逆，合同和相似都有，两边的矩阵的秩是相同的
解
[!done]-
第 (I) 问要求 的值,可以通过合同变换不改变二次型对应矩阵的秩来实现.
第 ( II ) 问要求可逆矩阵 ,可以将题中的两个二次型分别化为规范形 . 分别记这两个二次型与它们的规范形对应矩阵为 ,则有可逆矩阵 ,使得 . 由此可得
计算 可得所求可逆矩阵 .
也可以直接通过合同变换将 变为 ,并找到对应的变换矩阵 .
合同变换 设 为 阶矩阵, 为 阶可逆矩阵, 为对 做合同变换所得矩阵,所得矩阵 与矩阵 合同.
合同变换可看作对矩阵 作一系列初等行变换与初等列变换,对 作一次初等行变换,就要对 作对应的初等列变换.
(解) (I) 对应的矩阵 ,
对应的矩阵 . 易知 ,从而由合同变换不改变矩阵的秩可知 . 计算 .
由 可得 或 . 但是当 时, ,不符合题意,故 .
( II ) (法一) 利用配方法分别将 化为规范形.
将 代入 ,并将其化为规范形.
令 则可得 ,即 的规范形.
由上可得 . 记 ,则 .
计算 .
( 表示对第 行作初等行变换后所得新的第 行,每作一次初等行变换,加一个 .)
于是, .
再将 化为规范形.
令 则 . 记 ,则 ,且
记 . 由于 ,故
因此,
可将二次型 化为二次型 .
(法二) 对 做合同变换,将其化为 .
记录每一次初等列变换所对应的初等矩阵,分别记为 .
因此, ,即 可将二次型 化为二次型 .
注 ① 利用规范形作为过渡寻找可逆矩阵 时,一定要注意变量的对应关系. 例如: 利用配方法得到 的规范形为 ,其对应矩阵为 ,故在取线性变换
时,应令 而不是 后者对应矩阵为 .
② 由第 (I) 问可知, 的迹为 的迹为 6,故它们不相似,从而不能利用实对称矩阵的正交对角化作为过渡来求可逆矩阵 .