题5

题5

题目

[!question]+
Q:设函数 满足 ,则 依次是 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
A:对于这种多元复合函数的微分也是我的一个老大难问题，也就是这种复合换元，把关于x和y的函数换元为另外两个变量，然后倒腾来倒腾去的，核心应该是反解uv或者利用全微分形式的不变性，以不同的形式考了很多遍，有的时候是先给xy，再把xy变换为uv，比如有的年的真题：例13.45，有的就是这种，先给uv，再把uv带换为xy

解

[!done]-
可以先计算 关于 的显式表达式,再求 关于 的偏导数; 也可以利用链式法则或全微分形式的不变性来求解.
(解) (法一) 由 解出 关于 的表达式,从而将 写成关于 的表达式,进而求得 .
由 解得 故

因此,

应选 D.
(法二) 一方面,

另一方面,

比较 的系数可得

当 时,由
解得 . 代入上面的方程组,可得
, . 应选 D.