题17

题17

题目

[!question]+
已知函数 满足 ，，，求 的极值.

分析

[!NOTE]+

偏积分的考点，求这个无约束极值核心是积分积出来一阶导的函数，求出这个驻点

又做了一遍，基本的思路没有什么问题就是又算错了

解

[!done]-
已知条件并没有直接给出 的表达式，只是给出了 的某些偏导数，我们需要从 的偏导数出发来求 。求得 后，我们可以按照求无条件极值的一般方法来求 的极值。

解 利用题给条件，我们来逐步求 。

由于 ，故

其中 是以 为变量的一元函数。当 时，，故

从而，

其中 是以 为变量的一元函数。代入 ，得 ，故 。

因此，。

计算 的偏导数得，

由于 的驻点满足 ，故解 得 。因此，点 为 的驻点。

根据二元函数极值存在的充分条件，分别计算 。

由于 ，且 ，故点 为 的极小值点， 为 的极小值。

注 本题的关键在于通过求积分来得到 的表达式。

在一元函数的情况下，对 求不定积分得到 ，其中 为任意常数，即与 无关的数；在二元函数的情况下，对 关于 积分可得 ，与一元情况下的常数 类比， 的值与 无关。