题21

题21

题目

[!question]+
(I) 证明方程 ( 为大于 1 的整数) 在区间 内有且仅有一个实根;
(II) 记 (I) 中的实根为 ,证明 存在,并求此极限.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
分析 本题的第 (I) 问较常规. 我们可以使用连续函数的零点定理证明方程的实根的存在性. 若能得到方程所对应的多项式在区间端点处的值异号, 则能证明实根的存在. 我们可以利用函数的单调性证明实根的唯一性. 若函数在所考虑的区间上单调, 则在该区间上函数的零点是唯一的.

零点定理 设函数 在闭区间 上连续,且 与 异号,则在开区间 内至少有一点 ,使得 .

第 ( II ) 问较抽象一些, 需要我们理清解题的思路. 一般来说, 证明极限存在可使用单调有界准则,所以我们可以尝试证明数列 单调且有界. 事实上,数列 的有界性可以由第 (I) 问得到. 因此,证明极限存在的关键在于证明数列 单调. 在证明极限存在以后,才能够对 进行运算,从而求得 .

证 (I) 设函数 . 考虑 与 .

由连续函数的零点定理知,存在 ,使得 .

又由于当 时,

故 在 上单调增加,在 上有且仅有一个零点,即方程 ( 为大于 1 的整数) 在区间 内有且仅有一个实根.

( II ) 我们利用单调有界准则证明 存在.

考虑 .

对于任意的 ,都有 . 若 为 的根, 为 的根, 则

由于 在 上为单调增加函数,故 ,从而 单调减少.

由第 (I) 问知,对每一个大于 1 的整数 的零点 都满足 ,故 单调且有界. 由单调有界准则知, 存在.

下面求 .

由于 满足方程 ,故由等比数列的求和公式得

记 .

由于对所有大于 2 的整数 ,都有 ,故

令 (1) 式中的 得, . 因此, .

注 在解与极限有关的题中,有一种常见错误,求 时,不先证明极限存在,便直接利用极限运算法则进行计算.

. 若 为 的实根,则

直接对该式求极限, 得

解该方程得 .

这种做法是错误的. 要想对极限进行运算, 首先得保证极限存在, 否则一切的工作都是无意义的.