题20
题目
[!question]+
设函数 .
(I) 证明: 存在 ,使得 ;
(II) 证明: 存在 ,使得 .
分析
[!NOTE]+
这里因为要证明的东西里面不但有导数，而全部是变量统一的。所以我们应该把当做变量，构造函数来证明。而这里出现了变现积分。看见变现积分就要想求导的事儿，所以显然是用这个变限积分求导，然后构造罗尔定理来证明。我的思路错在，一直想用中值定理，但是用了中值定理以后呢，变量就不统一了，因为又有又有t，然后就转不出来要的这个式子。
这个题目也做过，第二次做了，又忘记了：例6.23，柯西中值定理还是不熟悉，感觉关键还是在于，把形式一一致的放在一起
解
[!done]-
第(I) 问是一个典型的方程根的存在性问题. 可以利用零点定理证明,也可以利用罗尔定理证明.
利用零点定理证明的思路为,将待证等式看作 的形式,并且说明 异号即可.
利用罗尔定理证明的思路为,将待证等式看作 的形式,通过寻找满足要求的 得到所需辅助函数,并找到两个不同的点 ,使得 ,应用罗尔定理即可得所证等式.
第 ( II ) 问待证等式右端的 ,左端为 . 注意到 ,可考虑构造辅助函数并利用柯西中值定理证明待证等式.
柯西中值定理 若函数 及 在 上连续,在 内可导,且对任 , ,则在 内至少存在一点 ,使等式
成立.
证 (I) 注意到 .
(法一) 待证等式等价于 .
令 ,则 .
对 上的 使用零点定理可得,存在 ,使得 ,即 ,
也即 .
(法二) 由变限积分求导公式可得, ,故待证等式 等价于 ,也等价于 .
令 ,则 .
由于 ,故由罗尔定理可知,存在 ,使得 ,即 ,也即 .
(法三) 令 ,则利用变限积分求导公式可得 .
. 此外,利用交换积分次序,可得
于是, .
令 ,则 .
由罗尔定理,存在 ,使得 ,即
因此,存在 ,使得 .
( II ) 令 ,则 .
由柯西中值定理,存在 ,使得
由于 ,故 式可化为 ,即 .