题19

题19

题目

[!question]+
(19) (本题满分 10 分)
( I ) 证明: 对任意的正整数 ,都有 成立;
(II) 设 ,证明数列 收敛.

分析

[!NOTE]+
第一问直觉上就是，做差然后求导，像高中一样证明就好
第二问的直觉是，利用单调有界准则，先做差，说明单调，然后用第一问的不等式，调整分式，去和尽可能的多消除一些，然后得到极限，又单调，又夹逼定理，有极限，所以收敛

解

[!done]-
证 (I) (法一) 考虑函数 ,则 . 由拉格朗日中值定理,对任意的正整数 ,都存在 ,使得

又因为 ,所以 .

因此,对任意的正整数 ,都有 成立.

(法二) 分别证明 和 .

为证明 ,可考虑函数 .

. 当 时, ,故 在 上单调减少. 又由于 ,

故对任意的正整数 ,即 .

为证明 ,可考虑函数 .

当 时, ,故 在 上单调增加. 又由于 ,故对任意的正整数 , ,即 .

综上所述,对任意的正整数 ,都有 成立.

(法三) 注意到 . 由于

故

(II) 若能证明数列 单调且有界,则由单调有界准则知其收敛.

先证 单调.

对任意的正整数 ,

由第 (I) 问知, ,故 单调减少.

下面证明 有下界.

由第( I ) 问知,

将上述不等式左端和右端分别相加, 得

同时减去 ,得

因此, 有下界.

综上所述,数列 收敛.

注 法二中,令 是因为,通过计算发现,当 时, , 因而 .