题13

题13

题目

[!question]+
若函数 由方程 确定,则

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
二元函数 的全微分形如 .

求隐函数的偏导数或全微分一般有三种方法.

(1) 直接求导法. 对已知方程 (组) 两端直接求导数或偏导数, 得到新的方程或方程组, 从中解得所求导数或偏导数.

(2) 微分法. 对已知方程 (组) 两端分别微分, 解出隐函数的全微分, 再写出相应的导数或偏导数. 微分法实际上包含了多个偏导数的计算. 当题目要求多个偏导数或者全微分时, 使用微分法比较方便.

(3) 利用隐函数存在定理进行计算.

隐函数存在定理 设函数 在点 的某一邻域内具有连续偏导数,且

则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 ,它满足条件 ,并有

解 下面我们分别用上述三种方法解本题.

(法一) 对原方程两端分别关于 求偏导数,可得

当 时,由原方程知 ,故 . 代入 (1) 式得 . 代入 (2) 式得 .

因此, .

(法二) 对原方程两端微分,可得 ,展开得

当 时,由原方程知 ,故 . 代入(3) 式得

即 .

(法三) 当 时,由原方程知 ,故 .

令 ,则由隐函数存在定理知,

因此, .