题8

题8

题目

[!question]+
矩阵 与 相似的充分必要条件为
(A) .
(B) 为任意常数.
(C) .
(D) 为任意常数.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
本题主要考查实对称矩阵相似的相关知识. 一般来说, 两矩阵具有相同的特征多项式并不一定意味着它们相似. 例如 和 . 但对实对称矩阵来说，若两实对称矩阵具有相同的特征多项式, 则这两个实对称矩阵一定相似于以它们的特征值为对角元的对角矩阵, 故两实对称矩阵相似的充分必要条件是它们具有相同的特征多项式. 这是本题的解题关键.

解 矩阵 与 均为实对称矩阵，故它们相似等价于它们有相同的特征多项式.

矩阵 的特征多项式为 .

考虑 的特征多项式 .

由于 ,故 当且仅当 . 由于上述论证不涉及到 ,故 取任意常数均不影响结果. 应选 B.

注 选项 A 只是本题中两个矩阵相似的充分条件, 而非必要条件; 选项 C 和选项 D 既非充分条件, 又非必要条件.