题7

题7

题目

[!question]+
(7) 设向量组 可由向量组 线性表示. 下列命题正确的是( )
(A) 若向量组 I 线性无关,则 .
(B) 若向量组 I 线性相关,则 .
(C) 若向量组 II 线性无关,则 .
(D) 若向量组 II 线性相关,则 .

分析

[!NOTE]+
考虑矩阵方程其中B就是这个，A就是这个，解出来的每一个就是这个线性表示的结果
线性无关的元素个数就是极大线性无关组，就是线性无关的，也就是秩

解

[!done]-
向量组线性相关 给定向量组 ,若存在不全为零的数 使得

则称向量组 是线性相关的,否则称它是线性无关的.

向量组的秩 向量组 的最大无关组中的向量个数称为向量组 的秩,记作 .

本题主要需要用到如下结论.

① 向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是

从而,若向量组 能被向量组 线性表示,则 .

② 若向量组 线性无关,则该向量组的秩等于 ,否则小于 ,

解 由于向量组 I 能被向量组 II 线性表示,故 . 又由题设,有 .

若向量组 I 线性无关,则 ,从而有

即 .应选 A.

下面我们说明选项 不正确.

考虑 . II 能表示 ,且向量组 ,II 均线性相关,但 . 选项 B、D 不正确.

考虑 II . II 能表示 I,且向量组 II 线性无关,但 . 选项 不正确.