题23

题23

题目

[!question]+
已知 是常数,且矩阵 可经初等列变换化为矩阵 .
( I ) 求 ;
( II ) 求满足 的可逆矩阵 .

分析

[!NOTE]+
经典的那种解矩阵方程的题目，注意要保证P是可逆的，k1!=k2

解

[!done]-
由于对矩阵作初等列变换等价于右乘初等矩阵，故已知条件说明矩阵方程 有解。根据线性方程组有解的条件，第(I)问可以利用来确定参数 。

第(II)问可以在第(I)问的结果上计算。求出矩阵方程的解，并找出其中为可逆矩阵的解。

(解) (I) 由于可经初等列变换化为，故矩阵方程有解。于是，。

对作初等行变换：

当且仅当时，。

或者，由矩阵可经初等列变换化为矩阵可知，的列秩等于的列秩，从而。同上面的计算可知，当且仅当时，。

因此，。

(II) 当时，

等价于。记。方程组的一个基础解系为。于是，方程组的通解为，其中为任意常数；方程组的通解为，其中为任意常数；方程组的通解为，其中为任意常数。

因此，矩阵方程的通解为

其中为任意常数。

若可逆矩阵满足，则

且。

由于

故当时，可逆。

因此，满足的可逆矩阵为

其中为任意常数，且。