例7.4

例7.4

题目

Q:P114 已知 是矩阵 属于特征值 的特征向量, 是矩阵 属于特征值 的线性无关的特征向量,则矩阵 不可以是 ( ) .
(A)
(B)
(C)
(D)

分析

A:属于同一个特征值无关的特征向量是可以自由组合的，仍是这个特征值对应的特征向量，但是得保证组合的P矩阵是可逆的

解

应选 (D).

• 若 ,则有 ,即
• 即
• 由此, 是矩阵 属于特征值 的特征向量,又因矩阵 可逆,因此, 线性无关
• 若 是属于特征值 的特征向量,则 仍是属于特征值 的特征向量,故 (A) 正确
• 若 是属于特征值 的线性无关的特征向量,则非零向量 仍是属于特征值 的特征向量
  • 本题中, 是属于 的线性无关的特征向量,故 仍是属于 的特征向量, 并且 线性无关,故 (B) 正确
• 关于 ,因为 均是 的特征向量,所以 谁在前谁在后均正确,即 正确
• 由于 是不同特征值的特征向量,因此 不再是矩阵 的特征向量,故 (D) 不正确