题22

题22

题目

[!question]+
设矩阵 满足: 对任意 均有 .
(I) 求
(II) 求可逆矩阵 与对角矩阵 ,使得

分析

[!NOTE]+
这个题目我们也做过：题5.10

解

[!done]-
解 (I) 因为

对任意 均成立,所以方程组 的解为全体 3 维列向量. 于是该方程组的系数矩阵的秩为 0,从而
,即

( II ) 计算 的特征值. 的特征多项式为

于是, 的特征值为 .

计算 的属于特征值 -2 的特征向量. 考虑方程组 .

解方程组 可得 为该方程组的一个基础解系,即 为 的属于特征值

的一个特征向量.

计算 的属于特征值 -1 的特征向量. 考虑方程组 .

解方程组 可得 为该方程组的一个基础解系,即 为 的属于特征值 的一个特征向量.

计算 的属于特征值 2 的特征向量. 考虑方程组 .

解方程组 可得 为该方程组的一个基础解系,即 为 的属于特征值 2 的一个特征向量.

令 . 由于属于不同特征值的特征向量线性无关,故 的列向量组线性无关,从而 可逆. 由特征向量的性质可得 ,其中 .