第四种分式积分

求解第四种分式的积分:

这个积分是最复杂的，因此题出的也少。

首先，跟第三种分式中的一样，我们先把变成的形式：

左边这部分可以直接求出来：

现在看右边，右边其实相当于求以下式子的积分：

我们接下来先讨论这种类型的式子如何求积分，设：

利用分部积分法，设，因此

因此：

因此：

把放到左边：

当时，数列的初项为：

这样，我们就解决了形如 的积分。回到我们第四种分式的积分中：

第二部分，使用换元法设 ，就可以把它转化为

的形式，从而使用上面的数列 公式，求出最终结果。