题1

题1

题目

[!error]+
当 时, 是非零无穷小量,给出以下四个命题:
① 若 ,则 ;
② 若 ,则 ;
③ 若 ,则 ;
④ 若 ,则 .
其中所有真命题的序号是 ( )
(A) ①③ (B) ①④ (C) ①③④ (4) ②③④

分析

[!NOTE]+
等价无穷小做差是非常危险的操作，这个题目也是第二次做了：例1.51，我们直接用定义做就可以了

解

[!done]-
四个命题均与无穷小量等价这个概念有关.

当 时, 意味着 满足 .

解 依次分析四个命题.

若 ,则 ,从而 ,即 . 命题 ① 是真命题.

由 并不能得到 . 考虑 ,则 1,即 ,但 与 只是同阶但并不等价的无穷小量. 命题 2 不是真命题.

要说明 ,只需说明 .

命题 ③ 是真命题.

要说明 ,只需说明 .

命题 ④ 是真命题.

综上所述,应选 C.