题13

题13

题目

[!question]+
(13) 已知 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解, 则该方程满足条件 的解为

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
线性微分方程的解的结构 考虑二阶齐次线性方程 .

(1) 若函数 和 是该方程的两个解,则

也是该方程的解,其中 是任意常数.

这是线性微分方程的解的重要性质, 任何两个解的线性组合仍为原方程的解.

(2) 若函数 和 是该方程的两个线性无关的解,则

是该方程的通解,其中 是任意常数.

已知或已求得某二阶齐次线性方程的两个线性无关的解后, 由此结论可得该齐次方程的通解.

(3) 设 是二阶非齐次线性方程 的一个特解. 是与其对应的齐次方程的通解, 则

是二阶非齐次线性方程 的通解.

由此可知, 任意两个二阶非齐次线性方程的特解之差均为其对应的齐次方程的解.

解 对题设方程的 3 个解 均为原方程对应的齐次线性微分方程的解. 由于 ,故 与 线性无关,从而 为原方程对应的齐次线性微分方程的解,其中 为常数.

原方程的通解可表示为 . 由 可得, 解得 ,故所求解为 .