题15

[!question]+
已知函数求 ,并求的极值.

[!NOTE]+

[!done]-
解是一个分段函数. 是分界点. 分别计算时与时的 .

当时,

计算 .

由的定义知 .

的右导数不存在,故在处不可导.

因此,

考察的极值,需分别考察的驻点与不可导点.

令 . 当时,解得 . 当时,解得 . 加上不可导点 ,这三个点将分为 4 个区间.

当时, 单调减少.

当时, 单调增加.

当时, 单调减少.

当时, 单调增加.

注意到在处连续. 于是,根据极值的第一充分条件, 和是的极小值点,极小值分别为和是的极大值点,极大值为 .

的单调性与极值可整理如下.


		0		不存在		0
	单调减少	极小值	单调增加	极大值	单调减少	极小值	单调增加

注在说明是的极大值点时,考察在处的连续性是有必要的. 如果在处不连续,那么即便在的左侧邻域单调增加,右侧邻域单调减少,也不能保证是的极大值点. 例如

YiNotes