题8

题8

题目

[!question]+
设 为 3 阶矩阵， 为 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 为 的属于特征值 -1 的特征向量，则满足 的可逆矩阵 可为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
所求可逆矩阵 的列向量应为 的线性无关的特征向量,且分别对应特征值 . 已知 为 的三个线性无关的特征向量,可由此出发去寻找满足要求的 .

解 由于 ,故 的列向量应分别为属于特征值 的特征向量,且

第 1 列与第 3 列为属于特征值 1 的线性无关的特征向量.

由已知条件, 为 的属于特征值 -1 的特征向量,故 的第 2 列可取为 ,其中 为任意非零常数.

由于 为 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量,且 , 故 也为 的属于特征值 1 的特征向量,且与 线性无关.

因此, 可取为 . 应选 D.