题13

题13

题目

[!question]+
(13) 设 满足 ,且 ,则

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
分析本题主要考查二阶常系数线性微分方程与反常积分的综合应用。

本题可以根据特征方程先写出微分方程的解，然后计算反常积分。

解 的特征方程为 ，故特征根为 。于是该方程的解为 ，其中 为待定常数。。

(法一) 由 与 的表达式可知，，。

由 可得，。于是，

。

(法二) 由 可得 。由 可得 ，从而 。于是，。

。

注 ① 法一的计算量较小。

② 本题与 2016 年数学一第 (16) 题非常相似，并且在 2020 年的数学一试题中，也出现了与本题类似的考题。

【例】设函数 满足方程 ，其中 。

(I) 证明：反常积分 收敛。

(II) 若 ，求 的值。(2016 年数学一试题)

答案 (I) 证明略；(II) 。

【例】设 满足 ，则

答案 。