题20

题20

题目

[!question]+
计算二重积分 ,其中 ,

分析

[!NOTE]+

这样的二重积分，注意这里的x是常数，是可以自己在后面补项的

华里士公式如果是奇数次，到就截止了

解

[!done]-
本题中的二重积分是在极坐标系下给出的, 但稍作分析会发现它在直角坐标系下的区域表示较简单, 被积函数的表达式也较简单, 因而应选择在直角坐标系下进行计算.

解 在极坐标系下,积分区域 . 由 得, . 又由于 ,故可知在直角坐标系下, 为由 以及 轴围成的三角形区域,积分区域如图所示. 将 写成 型区域,

由 可将 表示为

因此,

注 ① 很多时候, 我们都是对直角坐标系下给出的二重积分作极坐标变换以简化计算, 而本题恰恰相反. 本题中, 直接在极坐标系下计算题给二重积分较难, 而在直角坐标系下计算较简单. 这提醒我们, 在解题时, 切忌养成“思维定势”, 要学会针对具体问题进行分析.

② 本题用到了下面的定积分计算公式.

其中,正整数 的双阶乘 ! 表示不超过这个正整数且与它有相同奇偶性的所有正整数的乘积.