题18

题18

题目

[!question]+
设函数 的定义域为 且满足 . 求 , 并求曲线 及 轴所围图形绕 轴旋转所成旋转体的体积.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
已知条件给了 满足的等式,其中含有 . 要计算 ,可以对该等式进行变量代换, 得到另一含有 与 的等式,从而消去 ,得到 的表达式.

由本题图形的特点以及旋转轴为 轴,可考虑使用下述旋转体体积公式计算所求旋转体的体积.

若旋转体由区域 (由 ,以及 轴围成的曲边梯形) 绕 轴旋转而来,则该旋转体的体积为

解 ,代入 可得

(1) 式中的 换为 可得

原方程乘以 可得

(3) 式 - (2) 式消去 可得 . 解得 ,即 .

将 写成 的形式.

由 可得 ,从而 ,即 ,解得 . 由于 ,故由 可知 . 于是, . 平面区域如图所示.

由旋转体的体积公式可得, 所求旋转体体积