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例4.14

Jun 19, 20252 min read

例4.14

题目

Q:已知函数 ,设 与 互为反函数,则 .
(A)
(B) -3
(C)
(D)

分析

A:邂逅遗憾说是究极重点
这里的自变量是吗
注意这个题要积累一些反函数求导的结论
反函数求导最后还是用链式法则化归到原函数的导函数

解

【解】应选(C).
,显然其单调递增,由 ,知 . 又

再对 求一次导数 (注意 是 的函数) 可得

故

Q:反函数，也可以写成，导函数，其中y是自变量，导出来应该是什么？
A:反函数的导数是，也就是说，反函数的导数是原函数的导数的倒数。

Q:反函数的二阶导应该怎么来求？
A:考虑用链式法则凑配

Misplaced &&\frac{d^{2}x}{d^{2}y} \\ &=\text{ 反函数 g(y)对y求导} \\ &=\frac{d(\frac{1}{y^{\prime}(x)})}{dy} \\ &=\frac{d(\frac{1}{q^{\prime}(x)})}{dx}\cdot\frac{dx}{dy} \\ &=(-\frac{y^{\prime\prime}}{(y^{\prime})^{2}})\cdot y^{\prime} \end{aligned}$$ 也就是说，反函数的二阶导数是原函数的二阶导数的相反数除以一阶导数的立方

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