例6.1

例6.1

题目

Q:P136 已知函数 在 上具有二阶导数, ,证明:
(1) 存在 ,使得 ;
(2) 当 时,存在 ,使得 .

分析

A:给了两个端点为0，所以可以得到某点处的导数为0，这是罗尔定理
这个题目又是这种这种是乘积的求导法则的构造我们之前在例5.12里面做过
另一方面一定要多注意什么东西的两倍！比如第二问这里，这个两倍往往是拆成散的零件，去和别的部分组队凑配

解

构造函数，则在上可导，且

由罗尔定理可知，，使得，即

因为，所以
证明有零点
因为在上二阶可导，

由罗尔定理可知：，使得
又因为，所以

不妨设，则在，内各使用一次零点定理，可知在内至少存在一个零点
由在上二阶可导，

由罗尔定理可知：，使得
又因为

所以存在，使得

所以，使得
对在上应用罗尔定理，可知，使得
构造函数，则

对在，上分别应用罗尔定理，可知，使得，即

因为，所以