题15

题15

题目

[!question]+
（15）已知函数 . 设 ,试求 的取值范围.

分析

[!NOTE]+
注意不要迷糊了，这里要分四次类，一次是：x的正无穷和0，每次的x里面的的大于0还是小于0

解

[!done]-
解 记 ,则 .

可以看出, .

① 时的情形.

当 时, .

当 时, 为 型未定式.

• 当 时, .
• 当 时, 为 型未定式,继续使用洛必达法则得

因此,当 时, .

② 时的情形.

当 时, .

当 时, 为 型未定式.

因此,当 时, ; 当 时, ; 当 时, . 综上所述, .

注 ① 在讨论极限时, 一定要先判断该极限是常规极限还是未定式. 对常规极限使用洛必达法则可能会带来错误.

举一个简单的例子 . 若使用洛必达法则,则得到 “ . ”

② 在使用等价无穷小替换的时候,一定要指出是针对哪一个极限过程的等价无穷小量. 当 时, ,但当 时, 不成立. 我们不能只是形式化地记忆公式, 而忽略它们成立的条件. ！