题4

题4

题目

[!question]+
若微分方程 的解在 上有界,则 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
(解) 由于二阶常系数齐次线性微分方程必有零解,而零解为有界解,故微分方程 必然存在 上的有界解. 本题实际上是要求此方程的所有解都有界.

微分方程 的特征方程为 .

• 若 ,则特征方程有两个不同实根 ,从而至少有一个实根非零. 此时,微分方程的解为 .

取 ,则 或 . 该解在 上. 无界.

• 若 ,则特征方程有两个相同实根 . 此时,微分方程的解为 .

取 ,则 或 . 该解在 上无界.

• 若 ,则特征方程有一对共轭复根 . 此时,微分方程的解为

当 时,取 ,所得解 是 上的无界函数.

当 时,微分方程的解为 . 对任意常数 ,该解在 上均有界. 根据求根公式, ,即 . 于是, . 结合 可知, .

因此, . 应选 C.