题10

题10

题目

[!question]+
设 , , , . 若向量组 与 等价, 则 的取值范围是 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
等价向量组核心是三秩相等，我容易忘记第三个秩

解

[!done]-
向量组 与 等价的充分必要条件是 。由这一条件出发，可以考虑对矩阵 作初等行变换并讨论秩来得到 的取值。另一方面，也可以通过计算 和 来讨论 和 的秩。当它们均不为 0 时，这两个向量组都是 3 维向量组的极大无关组，从而等价。此外，还需讨论行列式均为 0 时两个向量组是否等价。

解 (法一) 当 时，。此时 与 显然等价。

当 时，考虑矩阵 。

( 表示对第 行作初等行变换后所得新的第 行，每作一次初等行变换，加一个 。)

由于 A 有 2 阶非零子式 ，故 。另一方面，因为不存在 满足 ，所以 。

当且仅当 。 当且仅当 。

因此，当 时， 当且仅当 且 。

注意到 也包含在条件 且 中，故 当且仅当 且 。

(法二) 分别计算 , .

当 时, 与 均不为 0. 此时, 和 均为 3 维列向量组的极大无关组, 从而等价.

当 时, . 此时 与 显然等价.

当 或 时, , 且其中一个为 0, 另一个不为 0, 说明两向量组的秩不相等, 从而不等价.

综上所述, 与 等价当且仅当 且 . 应选 C.